作者：贫民窟的大富翁

来源：雪球

我们经常说以合理的价值买入一家公司，那么这个合理价格是多少呢？今天我们就聊聊这个事情，争取把它说透，以后大家伙面对一个公司也就心理有数了。

巴菲特在2012年年报中屠刀一个有趣的模型，我摘取一部分做个引子。

我们假设你和我各自拥有一家价值 200 万美元的公司的一半。公司每年的利润率是 12%——24 万美元——并且可以合理预期新增投资也能获得 12%的回报率。

另外，外部投资者愿意以1.25pb（pb=市价/账面净资产）购买我们公司的股票。于是，我们各自资产的价格是 125 万美元。

你可能希望公司每年把利润的三分之一用来分配，剩余三分之二继续投资。你觉得这个方案即满足了当前收入的要求，又能实现资本增值。所以你建议我们分配 8 万美元现金，剩余 16 万用于增加公司未来的利润。

第一年，你会收到 4 万美元的分红，之后利润会增长，三分之一的分红比例继续持续，你收到的分红也会增长。于是，分红和股票价值会以每年8%的速度增长（12%的回报率减去 4%的分红比例）。

10 年以后，我们的公司会价值 4,317,850 美元（期初的 2 百万按 8%的复合增长率计算），同时你下一年收到的分红也会增长到 86,357 美元。

我们两人各自的股票价值 2,698,656（我们各自一半净资产的 125%）。我们之后还会更快乐——分红和股价依然每年增长 8%。

我们注意到一点：第一年，你会收到 4 万美元的分红，之后利润会增长，三分之一的分红比例继续持续，你收到的分红也会增长。于是，分红和股票价值会以每年8%的速度增长（12%的回报率减去 4%的分红比例）。

好了，现在开始进入正题，怎么把这个模型化，推导出一般规律性结论呢？

建模如下：假设一家公司的净资产为A，市净率为PB，净资产收益率为ROE，分红率为X，这些参数都是常数，则第二年企业的净资产为A+A*ROE—A*ROE*分红比例—A，与企业的初始净资产A相比，增值为ROE—ROE*分红比例，此处分红比例为企业当年的分红与企业当年的利润比值，公式进一笔提炼为ROE*（1-分红比例）=ROE*（1—分红率）

这就是企业的投资不分红的净资产增值一般公式。

这个模型中，企业每年的分红也是可以计算出来的，期初股东得到的股息是A*ROE*分红率，每年股息的增长率和净资产增长率一样，也是每年增长ROE*（1—分红率）。

这个模型中如果要计算企业的自由现金流折现值，每年的股息都需要单独折回现在的时间点，原因是股息没有再参与复利过程，企业的净资产可以按某一年直接折回现值就可以了。

在巴菲特的案例中净资产和股息的增长速度8%=12%—4%=12%*（1——1/3）=净资产收益率*（1-分红比例）。这个分红比例=当年分红的金额/当年的净利润=1/3。（严格来说，分红率=今年的分红/去年的净利润，而实际计算是今年分红/今年净利润。）

我们继续考察分红再投资的模型。第n年企业的净资产为1（企业的净资产为1还是N不影响结论，我们最后计算得到的是增长率，一个比率），市净率为PB，净资产收益率为ROE，分红率仍然定义为当年分红/当年利润

第n+1年分红前企业的净资产为1*（1+ROE），当年的利润为ROE即可分配利润，分红1*ROE*分红率，分红后净资产为1+ROE*（1—分红率），企业分红的钱以同样的市净率买入净资产为ROR*分红率/PB（市净率不变），

企业此时的净资产为1+ROE*（1—分红率）+ROE*分红率/PB

我们注意ROE*分红率/PB=（当年利润*当年分红/当年利润）/期初股价=股息率。（严格意义上的股息率是指，一年的分红/期末市值，而我指的分红率是指一年分红/期初市值）

企业一年的净资产增加额为ROE*（1—分红率）+股息率

这就是企业分红再投资的时候，净资产的复合增长率，假设条件市净率不变，这也是投资企业的复合收益率。

再次强调：严格意义上的股息率是指，一年的分红/期末市值，而我指的分红率是指一年分红/期初市值。严格来说，分红率=今年的分红/去年的净利润，而实际计算是今年分红/今年净利润。这是是非常微小的差异，不必较真。但是可以帮助我们得到简洁实用的计算一般公式：投资收益=ROE（1-分红率）+股息率（分红再投资）。其中，ROE指实际ROE，即净利润/期初净资产，分红率=今年分红/今年净利润，股息率=今年分红/期初股价。

这个公式也解释了内生增长的原理。

现在我们得到了模型的一般收益率计算公式，那么什么样的股票价格是合理的呢？

首先我们设定一个合理的收益率区间，根据这个收益率来确定PB和ROE之间的关系。我们为简化关系，假定企业不分红，每年的利润全部再投资，并且净资产收益率不变。

我们在确定社会平均资本收益率的时候，可以参考m2和名义GDP，我们把折现率取10%，

基础逻辑，合理PB=10×ROE。如ROE10%，1PB、OE15%，1.5PB。

即1PB买一个ROE10%的公司，年收益为10%，刚好达到通胀、M2、名义GDP的水平，即1PB是一个合理估值。15元买10元净资产，一年产生1.5元收益，收益率还是10%。即1.5PB是个合理估值

更进一步，对于高ROE的公司，存留的净资产产生超过10%的收益，应当给予适当的高估值，即合理PB应＞10×ROE

对于预期ROE15%的公司，1.5PB是合理估值。如果1PB收购，那么年收益是15%。市场中有种无形的力量，把股价拉高至1.5PB，使得该股票的投资收益率接近10%。1PB到1.5PB，就是50%的估值提升。

但是在现实的投资中，公司一定有分红，我们怎么判断估值的移动呢？根据分红的企业净资产增值计算ROE*（1-分红率），我们有个直观的认知：ROE越高，分红率越低，前面的常数就越高，即企业可以享受更高的估值。

折现率取多少合适呢？再本文的推算中一般我们根据十年期国债利率或者M2增速计算，在具体的投资中根据公司的情况计算。

最后说一下，估值是一件模糊的事情。合理PB=10~15倍ROE，经验计算值，但是不适用于ROE大于17%的公司。为什么呢？我就不为难大家了。这里面的计算单纯计算了市净率杠杆，真实企业的计算中，分红率是一个影响，当ROE大于17，复利计算中的指数效应加快，曲线变陡峭，前置定常数的平滑效果减弱，企业可以享受比计算值更高的市净率溢价。有不懂的童鞋，可以阅读我前面的专栏文章《建行在左，招行在右》的模型计算中的研究结果。

总结一下就是：优秀的企业是时间的朋友，时间越长，高净资产收益率的公司价值越明显低估值相对高成长企业的优势可以保持一段时间，越低估，前置常数越大，优秀公司的复利效应，即指数函数部分对冲前置常数较小需要的时间越长（冲减自己的溢价）企业越优秀，需要的对冲溢价时间越短

备注：以投资金额M投资一家企业，企业的市净率为PB，净资产收益率为ROE，n年后的企业净资产为（M/PB）*（1+ROE）n。这个计算中，前面是初始常数，代表买入时候的折溢价，后面是一个以净资产收益率和时间为变量的指数函数。