布莱克-斯科尔斯模型是一种模拟金融衍生工具市场动态的数学模型。自1973年提出并于70年代和80年代加以完善以来，该模型已成为估算股票期权价格的标准。该模型背后的关键思想是，通过以正确的方式买卖基础资产(如股票)来对冲投资组合中的期权，从而消除风险。这种方法后来在金融界被称为“不断修订的三角洲对冲”，并被世界上许多最重要的投资银行和对冲基金采用。

本文的目的是解释布莱克-斯科尔斯方程的数学基础，基本的假设和含义。

布莱克-斯科尔斯模型

布莱克-斯科尔斯模型是一种模拟金融市场动态的数学模型，其中包含了期权、期货、远期合约和互换合约等衍生金融工具。该模型的关键性质在于，它表明了一个期权，无论其标的证券的风险和预期收益如何，其价格都是唯一的。该模型建立在偏微分方程的基础上，即所谓的布莱克-斯科尔斯方程，从中可以推导出布莱克-斯科尔斯公式，该公式从理论上对欧洲股票期权的正确价格进行了估计。

假设条件

最初的布莱克-斯科尔斯模型基于一个核心假设，即市场由至少一种风险资产(如股票)和一种(本质上)无风险资产(如货币市场基金、现金或政府债券)组成。此外，它假定了两种资产的三种属性，以及市场本身的四种属性：

• 对市场资产的假设为：1：无风险资产的收益率是恒定的(因此实际上表现为利率)；2：根据几何布朗运动，假定风险资产价格的瞬时对数收益表现为具有恒定漂移和波动的无穷小随机游动；3：风险资产不支付股息。
• 对市场本身的假设是：1：不存在套利(无风险利润)机会；2：可以以与无风险资产利率相同的利率借入和借出任何数量的现金；3：可以买卖任何数量的股票(包括卖空)；4：市场上没有交易成本(即没有买卖证券或衍生工具的佣金)。

在对原有模型的后续扩展中，对这些假设进行了修正，以适应无风险资产的动态利率、买卖交易成本和风险资产的股息支出。在本文中，假设我们使用的是原始模型，除非另有说明。

布莱克-斯科尔斯方程

• 图1所示，欧洲看涨期权价格相对于执行价格和股票价格的可视化表示，使用布莱克-斯科尔斯公式方程计算

布莱克-斯科尔斯方程是根据布莱克-斯科尔斯模型的动力学原理，在金融市场中支配欧洲股票期权价格演变的偏微分方程(PDE)。方程是：

• 方程1：描述欧洲看涨或看跌期权随时间的价格的布莱克-斯科尔斯偏微分方程

其中V是期权的价格（作为两个变量的函数：股票价格S和时间t），r是无风险利率（认为利率类似于从货币市场基金获得的利率） ，而σ是基础证券的对数收益率的波动性。如果我们把方程改写成下面的形式

• 方程2：重写了布莱克-斯科尔斯方程

然后左侧表示期权V的价格随时间t的增加而变化+期权价值相对于股票价格的凸度。右边是由∂V/∂S组成的期权多头和空头的无风险回报。

布莱克-斯科尔斯公式

布莱克-斯科尔斯公式是布莱克-斯科尔斯偏微分方程的一个解，给出了下面的边界条件(方程. 4和5)，它计算了欧洲看跌期权和看涨期权的价格。也就是说，它计算的是在未来预定日期以预定价格购买或出售某些基础资产的权利的合同价格。在到期日(T)，欧式看涨期权(C)和看跌期权(P)的价值分别为：

• 式4：欧式看涨期权的价格
  • 式5：欧式看跌期权的价格

  布莱克和斯科尔斯证明，对于欧式看涨期权，在eq. 4和5给出的边界条件下，布莱克-斯科尔斯方程(上面的eq. 1)解析解的泛函形式为：

  • 方程6：布莱克-斯科尔斯公式，用于计算非分红股票价格S的看涨期权C的价值

  公式中涉及的因素为S =证券价格，T =到期日，t =当前日期，X =行使价，r =无风险利率和σ=波动率（基础资产的标准差）。函数N（·）代表正态（高斯）分布的累积分布函数，可以认为是“随机变量小于或等于正态分布的输入（即d 1和d 2）的概率”。作为概率，值N（·）的总和将始终在0≤N（·）≤1之间。输入d1和d2由下式给出：

  • 方程7

  对于欧洲看跌期权(在未来预定日期以预先确定的价格出售某些基础资产的权利而非义务的合约)，其等价的功能形式为：

  • 方程9：对于价格为S的非股息支付股票，看跌期权C的价值的布莱克-斯科尔斯公式

  例如：计算欧式看涨期权的价格

  
  

  为了计算欧式看涨期权的价格应该是多少，我们知道我们需要上述方程6所要求的5个值。它们是：1.股票的当前价格，2.看涨期权的执行价格(X)， 3.截止时间(T - t)， 4.无风险利率(r)和5.股票的波动,由历史日志返回的标准偏差(σ)。

  估计特斯拉看涨期权的价值，我们需要的前四个值很容易获得。

  
  

  假设我们对特斯拉股票($TSLA)的看涨期权感兴趣，该股票将于2019年第三季度收益到期，其价格将比当前股价高出20%。查看2019年7月13日在雅虎财经上特斯拉的纳斯达克上市($TSLA)，我们发现其股价为S = $245。将当前价格乘以1.2得到的执行价格比当前交易的股票高出20%，X = 294美元。谷歌一下，我们发现其第三季度财报电话会议的日期是10月22日，这给了我们10月22日至7月13日之间的到期时间= 101天。作为无风险利率工具的主体，我们将使用美国10年期政府债券，目前的收益率为2.12%。

  
  

  我们得到S = 245 X = 294 T - t = 101， r = 0.0212。唯一缺少的值是对股票波动率（σ）的估计。

  我们可以通过观察股票的历史价格来估计任何股票的波动率，或者，更简单地，通过计算相同股票在不同期限/到期日(T)和执行/执行价格(X)的其他期权价格来估计（如果我们知道它们是根据布莱克-斯科尔斯模型设置的）。结果值σ是介于0和1之间的数字，表示市场对股票的隐含波动率。

  隐含波动率

  尽管了解期权发行者是如何获得看涨期权和看跌期权的价格是一件有趣的事情，但作为投资者，很难“不同意”这些价格本身，而且很难将这些知识转化为可操作的投资理论。

  但是，如果我们将期权的价格视为已知的独立变量，则可以从布莱克-斯科尔斯公式中得到很多好处。这是因为，布莱克-斯科尔斯方程将成为一种工具，可以帮助我们了解市场如何估计股票的波动率，也称为期权的隐含波动率。这是我们可以不同意见并进行交易的信息。

  美式期权

  由于美国期权可以在到期日之前的任何日期执行，因此比处理欧洲期权要困难得多。首先，由于最优执行策略会影响期权的价值，因此在求解布莱克-斯科尔斯偏微分方程时需要考虑这一点。根据布莱克-斯科尔斯方程，美国期权没有已知的“封闭形式”解。不过，也有一些特殊情况：

  • 对于不支付股息的基础资产的美国看涨期权，美国看涨期权的价格与欧洲看涨期权相同。这是因为在这种情况下，最优的行使策略是不行使期权。
  • 对于在其生命周期内确实支付一项已知股息的基础资产的美国看涨期权，尽早行使该期权可能是最优选择。在这种情况下，根据所谓的Roll- geske - whaley方法：

  首先，通过研究以下不等式是否满足，来检验提前行使期权是否最优：

  • 方程10

  S =股票价格，X =行使价格，D₁=支付的股息，t =当前日期，t₁=支付股息的日期，T =期权的到期日。

  C（·）是非股息支付欧洲股票期权（eq x）的常规布莱克-斯科尔斯公式，则美国看涨期权的价值由相同方程式给出，其中股票价格（ S）为：

  • 方程11：当不等式(eq.8)没有被满足时，美国看涨期权的价值

  如果满足了不等式，那么早期的操作就是最优的，美国看涨期权的价值是由下面这个糟糕而又混乱的方程给出的(我试着把它按每一项分开，以使其更具可读性)：

  
  • 方程12：当不等式(式10)满足时，美国看涨期权的价值

  S =股票价格，T =期权到期日，X =行使价格，r =无风险利率，σ=波动率（股票历史收益的对数的标准偏差），D =是股息支出。另外，ρ由下式给出：

  • 方程13

  a₁，a 2由下面的式子确定：

  • 方程14
    • 方程15

    b₁, b₂ 由下面的式子确定：

    • 方程16
      • 方程17

      局限性

      毋庸置疑，考虑到上述假设以及我们自己对无风险利率（r）的数值估计的固有局限性，布莱克-斯科尔斯模型正好是一种试图估计市场行为的理论模型。这里应该强调的是，并不是所有的假设（尤其是原始模型）实际上都是凭经验有效的。例如，明显的限制来自于：

      • 对股票极端波动的低估，产生尾部风险
      • 假设即时、低成本交易，产生流动性风险
      • 假定过程平稳，产生波动风险
      • 假设连续时间和交易，产生缺口风险

      在任何和所有的投资策略中，都应该考虑到这些因素，例如，分别用套现期权进行对冲、在多个交易所进行交易、用波动率对冲和伽玛对冲进行对冲。

      背景

      

      ​1973年，费希尔•布莱克和迈伦•斯科尔斯指出，根据某些规则对投资组合进行动态修正，可以消除基础证券的预期回报。他们的模型是建立在巴切利耶、萨缪尔森等人之前建立的著作之上的。罗伯特·默顿是第一个发表对模型理解的论文的人，他创造了术语“布莱克-斯科尔斯期权定价模型”。斯科尔斯和默顿因发现了将股票期权与相关证券的风险分离的方法而获得1997年诺贝尔经济学奖。1995年，费希尔·布莱克去世，他没有资格获得诺贝尔奖，但被诺贝尔委员会确认为一名贡献者。

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